СКРЫТЬ РЕКЛАМУ = кликните по малозаметному прямоугольнику вверху слева.
Загадочная современная математика
09 января 2012 г.
Загадочных явлений в современном мире много. Мы все надеемся, что наука со временем раскроет тайны мира. Но я хочу поговорить о тайнах, скрытых в самой науке. В этой статье речь пойдёт о математике, науке наук, которую в первую очередь причислили к точным наукам. Математика оперирует абстракциями, которые, будучи использованы прикладными науками, позволили достичь впечатляющих результатов. Но вот точность самой математики, интерпретация отдельных её положений современными математиками как раз и вызывают сомнение. Речь пойдёт не о парадоксах логических интерпретаций и философских проблемах осознания результатов исследований. Вначале нужно понять базовые принципы, лежащие в основе современной математики. Если присмотреться внимательно, можно обнаружить некоторые загадочные интерпретации, которые проникли во все направления научной мысли, стали нормой, не вызывающей сомнения. Их немного. Тем не менее, важно понять природу этих интерпретаций и степень влияния в различных областях математических исследований.
Общеизвестно, что математика базируется на трудах Евклида, изложенных им в "Началах". Евклид системно изложил все предшествующие достижения греческой математики и тем самым создал основу для её дальнейшего развития. Он впервые построил геометрию на основе аксиом и дал определения основным понятиям. За прошедшие тысячелетия они не изменились по существу, лишь сформулированы были, как полагают наши современники, более корректно. Так, по Евклиду:
"Точка есть то, что не имеет частей".
"Линия же - длина без ширины".
"Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению точкам на ней".
"Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину".
В Современной энциклопедии : "ТОЧКА, простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением …" Коротко, и непонятно ...! ЛИНИЯ, - "одно из основных понятий математики, возникло как математическая абстракция понятия нити. В различных областях математики имеет различные трактовки".
В
Математической
энциклопедии такой мелочью, как ТОЧКА, не стали себя обременять. Зато ТОЧКУ
ПОЛЯ расписали так, как это авторам Современной энциклопедии не снилось и в
кошмарных снах. Понятию ЛИНИЯ определение дать не смогли, констатировав: "линия
кривая,- геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее
определение к-рого представляет значит. трудности и осуществляется в разных
разделах геометрии различно".
А из публикации "Математические понятия физики и механики"
http://timinva.narod.ru/links_m.html:
"Точка – минимальный
геометрический объект, элемент любого пространства. Любой другой объект состоит
более чем из одной точки".
"Линия прямая – объект, состоящий не менее чем из двух точек".
"Плоскость – объект, состоящий не менее чем из трех точек, не лежащих на одной
прямой".
"Пространство – объект, состоящий не менее чем из четырех точек, не лежащих ни
на одной прямой и плоскости".
Встречаются и иные определения, например, в диалогах http://otvet.mail.ru/question/12895406 сказано: "Принято считать, что математическая точка не имеет размера". Из анализа многих публикаций можно сделать вывод, что основы математики самим математикам не вполне понятны.
То же самое можно сказать и о пятом постулате Планиметрии. Так, по Евклиду:
"И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых".
В современных публикациях пятый постулат чаще всего имеет вид:
"В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной".
Математика ушла далеко в область абстракций разного рода, не позаботившись о единообразии и точно выверенном содержании базовой терминологии и понятий. К чему это привело, рассмотрим на примерах использования ключевых понятий "точка" и "линия".
Всем известный прямоугольный треугольник имеет решение по теореме Пифагора. Изначально эта теорема имела вид:
"В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах".
В современной трактовке она формулируется так:
"В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов". И обратная теорема:
"Для всякой тройки
положительных чисел a,
b и
c, такой, что
a2 + b2 =
c2, существует прямоугольный треугольник с катетами
a и
b и гипотенузой
c".
Проблема возникает тогда, когда мы намерены найти точное
решение реального треугольника. Теорема верна для треугольника, толщина линий
которого, и соответственно размер точек в его вершинах, равны нулю. В противном
случае на схеме, чертеже длины катетов и гипотенузы не будут иметь точно
заданных размеров. А сумма углов не будет равна
180°. При изменении масштаба
диаметр точки и соответственно толщины линии может принять какие угодно размеры.
Иногда можно встретить утверждение, что точка - это воображаемая точка, а линия
- это воображаемая линия, имеющие нулевой размер. Такое представление решает
проблему масштабирования. Но возникает новая проблема: в реальности треугольника
или иной фигуры, построенных с использованием этих элементов, не существует. На
первый взгляд эти рассуждения не имеют практического смысла. Но ситуации,
которые возникают, в реальной жизни многообразны. И есть такие, когда эти
проблемы приобретают принципиальное значение, например, в картографии. Толщина
линии, проведённой на карте, нередко становилась причиной межгосударственных
конфликтов. Математика не может называться точной наукой, пока существуют
подобные неопределённости.
Что касается решения прямоугольных треугольников, то проблема часто возникает вследствие игнорирования иррациональности полученных значений. Пусть решается идеальный прямоугольный треугольник с нулевыми значениями толщины линий, соотношение сторон которого a2 + b2 = c2. Его решения всегда будут иррациональными, даже если значения двух других сторон выражены натуральными числами. Это означает, что найденному значению соседствуют бесконечно малые отклонения, вызванные свойством непрерывной функции. Подобное обстоятельство в математике не фиксируется, а многими математиками вообще не учитывается. Полученное значение кочует из одного выражения в другое, неся на себе не зафиксированный признак иррациональности.
Если бы математика не допустила такой оплошности, решение Великой теоремы Ферма с лёгкостью находил бы любой школьник, потому что был бы обязан снабдить полученное значение признаком иррациональности. В редакции самого Ферма его теорема имеет вид:
"... невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем".
Обратите внимание, что здесь нет и речи о натуральных числах. Об этом свидетельствует также выражение "никакую степень". Потомки упростили задачу и сформулировали её так:
"для любого натурального числа n>2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых ненулевых числах x, y, z".
Но и в этом виде её доказательство оказалось не по зубам многим поколениям математиков. А решение элементарно просто. Мы имеем уравнение, описывающее решение прямоугольного треугольника, имеющего стороны, выраженные натуральными числами x, y, z с показателем степени n/2. Решение этого треугольника относительно гипотенузы (равно, как и относительно любого катета) будет иррационально zn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 см. http://lemyakin.narod.ru/t_ferma.htm . Следовательно, найденное значение не является натуральным числом. Натуральные числа предназначены для единичного счёта, но никак не для использования в непрерывных функциях.
Напрашивается вопрос: а как же объяснить справедливость уравнения при степени n=2? На него ответил Пифагор. Он не решал треугольник, а строил площади методом построения квадратов из единиц натуральных чисел, пользовался арифметическими действиями умножения и сложения. Здесь иррациональность появиться не могла, потому что не было условия в виде непрерывной функции. Если же решать треугольник с использованием тригонометрических функций, получим иррациональное значение. Треугольник не имеет точных решений. Если говорить о степени n>2, то речь идёт о геометрической фигуре перехода от площади к объёму куба, и далее к некой абстрактной фигуре, не содержащих решения в натуральных числах. Привести это решение к нахождению площадей посредством изменения масштаба невозможно вследствие появления иррациональных значений.
Область применения Великой теоремы Ферма можно расширить не только до условий, заданных самим Ферма, которые проигнорировали потомки, но и до показателей степени меньше 2.
Для любого вещественного числа 1<n≠2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в вещественных, ненулевых числах x, y, z, если оно не может быть преобразовано упрощением в уравнение, не отвечающее данным условиям. Доказательство см. http://lemyakin.narod.ru/t_ferma.htm .
Ещё одна загадка математики возникла при определении значений углов. Идея разделить окружность на равные части и принять за единицу измерения угол, заключённый между двумя радиусами, исходящими из концов единичной дуги окружности, возникла в глубокой древности. Вначале за единицу принимали отношение длины хорды, стягивающей концы единичной дуги, к радиусу. Исчисление вели в градусах, исходя из расчёта, что окружность соответствует 360°. Затем ввели параллельно буквенное обозначение единицы угла, упростив тем самым написание формул. За единицу приняли радиан, буквенное обозначение π, которое соответствовало отношению длины дуги, заключённой между концами двух противоположно направленных радиусов к длине радиуса. Эта единица равнялась 180°. В записи это выглядит так: π = 180°. Оказалось, что π - это число трансцендентное. А градусная мера использует рациональные числа. Тем не менее, знак равенства между ними используется в математике повсеместно. Это, по меньшей мере, выглядит некорректным, - ставить знак равенства между несоизмеримыми величинами. Но математики это сделали. Тем самым они превратили градус в число трансцендентное. Вообще-то, этим математики восстановили справедливость. Градусная мера никогда не была выражением значений угла в рациональных числах. Рациональные числа используются для единичного счёта, а угол дискретных значений не имеет. Всегда по соседству присутствуют углы, отличающиеся от заданного на бесконечно малую величину. В приведённом выше уравнении zn = (x2 + y2 – 2xycos z)n/2 правая часть содержит угол z, имеющий трансцендентное значение. Поэтому cos z имеет трансцендентное значение, и многочлен правой части уравнения ничем иным, как трансцендентным числом, быть не может. По этой причине данное уравнение не имеет решения в вещественных числах.
На Дискуссионной странице по моей публикации Доказательство Великой теоремы Ферма в общем виде и её графическое изображение можно встретить утверждения профессиональных математиков о том, что cos z может принимать значения, выраженные рациональными числами. В их представлении непрерывная функция имеет разрывы, которые обуславливают бесконечное чередование рациональных, иррациональных и трансцендентных значений. Я привёл довод, что в таком случае следует считать, что Великая теорема Ферма опровергнута. Остаётся лишь расчётом найти значения рациональных чисел, при которых знак равенства в уравнении Ферма ставить справедливо. Но тогда можно и нужно опровергнуть доказательство, найденное Эндрю Уайлсом. Никто этого не сделал, но и с моими доводами не согласились. Математики, подобно страусу, спрятали голову в песок, чтобы не видеть своего позора.
Рассмотрим в качестве примера значение cos 60°. Считается нормой записать: cos π/3 = cos 60° = 0,5. Это неверно. Cos π/3 = cos 60° ≠ 0,5. Нельзя ставить знак равенства между несоизмеримыми значениями. Но современная математика не знает иной формы записи. Можно записать: cos π/3 = cos 60° = 0,50→∞. Можно записать cos π/3 = cos 60° = 0,5i . И обратная задача: arc cos 0,5 ≠ π/3 = 60°, ибо в этом равенстве существует неопределённость. В принятой системе измерений не существует угол, строго соответствующий рациональному значению 0,5 дуги. Нужно записать: arc cos 0,5i = π/3 = 60°.
Отдельная проблема возникает при использовании пятого постулата в его современной форме. Вызывает сомнение справедливость утверждения, что "в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной". Согласно Википедии:
"За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг: оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата".
"Поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства, отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии".
С этими утверждениями можно согласиться. Если пространство однородно, то размер точки в таком пространстве и толщина линии бесконечно стремятся к нулю. Физика подтверждает такие свойства пространства и использует их в практических расчётах. Например, если на прямой линии расположить несколько точечных источников электрического поля, то напряжённость поля в любой точке на этой прямой рассчитывается методом наложения, исходя из предположения, что на одной прямой находятся независимые силовые линии электрических полей всех точечных источников. Математическая модель Мироздания, в основе которой лежит гипотеза о существовании сверхплотной однородной и изотропной среды пространства, утверждает, что на прямой линии, соединяющей два точечных источника поля, среда может находиться в движении одновременно в противоположных направлениях. Таково свойство бесструктурной среды пространства.
Проблемы толщины линии и пятого постулата можно решить с учётом метрики пространства, если диаметр точки и толщину линии приравнять трансцендентному значению нуля, - 0i. Это означает, что линия и точка имеют размер, который отличается от нуля на бесконечно малую величину. Каждая точка представляет собой совокупность бесконечного множества точек. Каждая линия представляет собой совокупность бесконечного множества линий. Бесконечно великую форму нужно понимать, как бесконечное число бесконечно великих форм, а бесконечную малость формы нужно понимать как бесконечное число бесконечно малых форм. При этом формулировка пятого постулата остаётся прежней.
Все перечисленные неопределённости и противоречия, которые существуют в современной математике, можно расценивать как очевидные факты её кризиса на уровне базовых понятий. Очевидно также то, что в древности математики более обдуманно подходили к формулированию тех или иных математических тезисов. Они представляли математику, как единое целое, учитывали взаимную связь математических знаний, достигнутых в различных областях. Характерная черта современной математики - это появление множества дискутирующих школ, узкая специализации, создание замкнутых групп исследователей и отрыв от решения практических задач. Математика всё больше становится самодостаточной наукой, уходит в абстракции, не имеющие связей с реальностью. Подобный негативизм проявляется и в других областях научного знания. По этому пути уже идёт физика. Эти тенденции видны и в ряде других направлений научной деятельности. Я не хочу винить математику, как науку, или отдельных представителей математических школ. Факты свидетельствуют: вавилонский эффект накопления знаний состоит в том, что люди перестают понимать друг друга. Таково свойство общественного сознания. И с этим нужно считаться.
___________________________________________
